题目内容

P是以F1、F2为焦点的双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的一点，已知
PF1
•
PF2
=0，|
PF1
|=2|
PF2
|．
（1）试求双曲线的离心率e；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当
OP1
•
OP2
=-
27
4
，2
PP1
+
PP2
=0，求双曲线的方程．
解（1）∵|
PF1
|=2|
PF2
|，|
PF1
|-|
PF2
|=2a，∴|
PF1
|=4a，|
PF2
|=2a．
∵
PF1
•
PF2
=0，∴（4a）2+（2a）2=（2c）2，∴e=
c
a
=
5
．
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为
x2
a2
-
y2
4a2
=1，渐近线方程为y=±2x．
设P1（x1，2x1），P2（x2，-2x2），P（x，y）．
∵
OP1
•
OP2
=-3x1x2=-
27
4
，∴x1x2=
9
4
．∵2
PP1
+
PP2
=0，∴
x=
2x1+x2
3
y=
2(2x1-x2)
3
.

∵点P在双曲线上，∴
(2x1+x2)2
9a2
-
(2x1-x2)2
9a2
=1．
化简得，x1x2=
9a2
8
．∴
9a2
8
=
9
4
．∴a2=2．∴双曲线的方程为
x2
2
-
y2
8
=1
练习册系列答案
相关题目
设P是以F1、F2为焦点的椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1 (a＞b＞0)上的任一点，∠F1PF2最大值是120°，求椭圆离心率．
已知P是以F1，F2为焦点的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=
1
2
，则此椭圆的离心率为（　　）
A、
1
2
B、
2
3
C、
1
3
D、
5
3
已知P是以F1，F2为焦点的双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1上的一点，若
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=2，则此双曲线的离心率为（　　）
A、
5
B、5
C、2
5
D、3
若P是以F1，F2为焦点的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一点，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，则此椭圆的离心率为（　　）
已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，则该椭圆的离心率等于
5
3
5
3
．

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