题目内容
已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点
到直线
的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆右焦点F2斜率为
（
）的直线
与椭圆相交于
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
，求证：
为定值．
（1）
．（2）证明见解析.
解析试题分析：（1）利用椭圆的几何性质，建立
的方程组即得；
（2）要证明为定值，须从确定两直线斜率的表达式入手.根据题目的条件，应注意设出
的直线方程，并与椭圆方程联立，应用韦达定理，建立与坐标的联系；确定的坐标，将斜率用坐标表示.得到，的关系即得证.
设过点
的直线方程为：
，
，点
，
将代入椭圆
整理得：
应用韦达定理
；
根据直线
的方程为：
，直线
的方程为：
令
，得点
，
，点
；
由直线 的斜率为
，
将
代入上式得到，的关系即得证.
试题解析：（1）由题意得
，
， 2分
所以
，
，所求椭圆方程为． 4分
（2）设过点 的直线方程为：，
设点，点 5分
将直线方程代入椭圆
整理得： 6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，
恒成立，
且 7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，
所以点的坐标
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+
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+
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·
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.
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，离心率
，其一个焦点在抛物线
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在椭圆
的运动轨迹为
．若点
满足：
，其中
是
与
的斜率之积为
，试说明：是否存在两个定点
，使得
为定值？若存在，求
和定直线
，动点与定点
的距离等于点
到定直线
的距离，记动点
.
为圆心的圆与曲线
、
不同两点，且线段
是此圆的直径时，求直线