题目内容
已知椭圆的中心为原点
,离心率
,其一个焦点在抛物线
的准线上,若抛物线
与直线
相切.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆
上运动时,设动点
的运动轨迹为
.若点
满足:
,其中
是
上的点,直线
与
的斜率之积为
,试说明:是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标;若不存在,说明理由.
(1)
(2)存在两个定点,且为椭圆
的两个焦点,使得
为定值,其坐标为
.
解析试题分析:(1)根据抛物线与直线
相切,联立方程组并化简,
利用
,求得
的值,进一步可得
;
应用离心率求,得解.
(2)设,
,
,利用“代入法”求得
的轨迹方程为:
.
由及
确定
的坐标关系,
导出,作出判断.
试题解析:
(1)由,
抛物线
与直线
相切,
2分
抛物线
的方程为:
,其准线方程为:
,
离心率
,
,
故椭圆的标准方程为 5分
(2)设,
,
则当点
在椭圆
上运动时,动点
的运动轨迹
的轨迹方程为:
7分
由得
设分别为直线
,
的斜率,由题设条件知
因此
9分
因为点在椭圆
上,
所以,
故
所以,从而可知:
点是椭圆
上的点,
存在两个定点
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