题目内容
（2012•安徽模拟）给出下列命题，其中正确的命题是
①非零向量
、
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
+
的夹角为30°；
②已知非零向量
、
，则“
•
＞0”是“
、
的夹角为锐角”的充要条件；
③命题“在三棱锥O-ABC中，已知
=x
+y
-2
，若点P在△ABC所在的平面内，则x+y=3”的否命题为真命题；
④若(
+
)•(
-
)=0，则△ABC为等腰三角形．
①③④
①③④
（写出所有正确命题的编号）．①非零向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
②已知非零向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
③命题“在三棱锥O-ABC中，已知
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
④若(
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
分析：①非零向量
、
满足|
|=|
|=|
-
|，知向量
，
，
-
可组成等边三角形，向量
+
正好是等边三角形的高，并且是向量
和
的角平分线，所以向量
与
+
的夹角是等边三角形的一个角的
，即为30°； ②已知非零向量
、
，则“
•
＞0”是“
、
的夹角为锐角”的必要不充分条件；③命题“在三棱锥O-ABC中，已知
=x
+y
-2
，若点P在△ABC所在的平面内，则x+y=3”的否命题为真命题；④若(
+
)•(
-
)=0，则|
|=|
|，所以△ABC为等腰三角形．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
解答：解：①非零向量
、
满足|
|=|
|=|
-
|，
知向量
，
，
-
可组成等边三角形，
向量
+
正好是等边三角形的高，并且是向量
和
的角平分线，
所以向量
与
+
的夹角是等边三角形的一个角的
，即为30°，故①正确；
②已知非零向量
、
，
则“
•
＞0”⇒“
、
的夹角为锐角或
，
同向”，
“
、
的夹角为锐角”⇒“
•
＞0”，
故“
•
＞0”是“
、
的夹角为锐角”的必要不充分条件，故②不正确；
③命题“在三棱锥O-ABC中，已知
=x
+y
-2
，若点P在△ABC所在的平面内，
则x+y=3”的否命题为真命题，故③正确；
④若(
+
)•(
-
)=0，则|
|=|
|，所以△ABC为等腰三角形，故④正确．
故答案为：①③④．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
知向量
| a |
| b |
| a |
| b |
向量
| a |
| b |
| a |
| b |
所以向量
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
②已知非零向量
| a |
| b |
则“
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
“
| a |
| b |
| a |
| b |
故“
| a |
| b |
| a |
| b |
③命题“在三棱锥O-ABC中，已知
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
则x+y=3”的否命题为真命题，故③正确；
④若(
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
故答案为：①③④．
点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意向量的性质的灵活运用．
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