题目内容

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若对任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）≠f（x2），求证：关于x的方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根且必有一个根属于（x1，x2）；
（2）若关于x的方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]在（x1，x2）的根为m，且x1，m-
1
2
，x2成等差数列，设函数f （x）的图象的对称轴方程为x=x0，求证：x0＜m2．
分析：（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为g（x），由
g（x1）g（x2）＜0，可得方程有一个根属于（x1，x2）．
（2）由题意可得f(m)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]，即a（2m2-x12-x22）+b（2m-x1-x2）=0，由x1，m-
1
2
、x2成等差数列，可得 x1+x2=2m-1，故b=-a（2m2-x12-x22），由x0=-
b
2a
=
2m2-(
x
2
1
+
x
2
2
)
2
=m2-
x
2
1
+
x
2
2
2
证得结论．
解答：证明：（1）∵f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]，∴ax2+bx+c=
1
2
[a
x
2
1
+bx1+c+a
x
2
2
+bx2+c]，
整理得：2ax2+2bx-a（x12+x22）-b（x1+x2）=0，（2分）
∴△=4b2+8a[a（x12+x22）+b（x1+x2）]=2[（2ax1+b）2+（2ax2+b）2]，
∵x1，x2∈R，x1＜x2，∴2ax1+b≠2ax2+b，（4分）
∵△＞0，故方程有两个不相等的实数根．                    （6分）
令g(x)=f(x)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]，（7分）
则g(x1)g(x2)=-
1
4
[f(x1)-f(x2)]2，
又f（x1）≠f（x2），则g（x1）g（x2）＜0，
故方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]有一个根属于（x1，x2）．         （9分）
（2）∵方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]在（x1，x2）根为m，
∴f(m)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]，∴a（2m2-x12-x22）+b（2m-x1-x2）=0，（10分）
∵x1，m-
1
2
、x2成等差数列，则x1+x2=2m-1，（12分）
∴b=-a（2m2-x12-x22），
故x0=-
b
2a
=
2m2-(
x
2
1
+
x
2
2
)
2
=m2-
x
2
1
+
x
2
2
2
＜m2．                    （14分）
点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想．
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