Question

（2013•德州一模）已知函数f（x）=1nx-

1

2

ax2-2x
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（3）若a=-

1

2

时，关于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数f'（x），根据题意解关于a的等式f'（2）=0，即可得到实数a的值；
（2）由题意，不等式f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，等价转化为a≤

1-2x

x2

在（0，+∞）内恒成立，求出右边的最小值为-1，即可得到实数a的取值范围；
（3）原方程化简为

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0，设g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b（x＞0），利用导数研究g（x）的单调性得到原方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数b的取值范围．

解答：解：（1）f'（x）=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

（x＞0）
∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f'（2）=0，即

a×22+2×2-1

2

=0，解之得a=-

3

4

（经检验符合题意）
（2）由题意，得f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
即ax²+2x-1≤0在（0，+∞）内恒成立，
∵x²＞0，可得a≤

1-2x

x2

在（0，+∞）内恒成立，
∴由

1-2x

x2

=（

1

x

-1）²-1，当x=1时有最小值为-1，可得a≤-1
因此满足条件的a的取值范围国（-∞，-1]
（3）a=-

1

2

，f（x）=-

1

2

x+b即

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0
设g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b，（x＞0），可得g'（x）=

(x-2)(x-1)

2x

列表可得

∴[g（x）]_极小值=g（2）=ln2-b-2；[g（x）]_极大值=g（1）=-b-

5

4

∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，且g（4）=2ln2-b-2
∴

g(1)≥0 g(2)＜0 g(4)≥0

，解之得ln2-2＜b≤-

5

4

点评：本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的极值与单调性，并依此探求关于x的方程有解的问题．着重考查了导数在研究函数的单调性、求函数的极值与最值等方面的应用，考查了数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．