Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先求函数的定义域，求导后对分成三类，讨论函数的单调区间.（2）由（1）知当且仅当时，存在两个极值点，同时用韦达定理写出这两个极值点的关系.化简，并利用导数求得上式表达式的单调区间以及最值，由此证得不等式成立.

（1）解：的定义域为，.

①当时，对恒成立，则在上单调递增；

②当时，令，得，.

（ⅰ）当时，，

当时，；当时，.

所以在，上单调递增，

在上单调递减.

（ⅱ）当时，，

当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）证明：由（1）知当且仅当时，存在两个极值点.

因为的两个极值点，满足，所以，

又，则.

，

令，，则 .

因为，所以，，即，所以在上单调递减.

因为，所以，

从而.