Question

设f(x)=ax²+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.

Answer 1

5≤f(-2)≤10

方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n为待定系数),

则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,
于是得,解得,
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10.
方法二 由,
得,
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
方法三 由确定的平面区域如图.
当f(-2)=4a-2b过点A时,
取得最小值4×-2×=5,
当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,
取得最大值4×3-2×1=10,
∴5≤f(-2)≤10.