Question

17．已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{\frac{1}{2}}$=2，求①a+a^-1；②a²+a^-2；③a³+a^-3的值，你可得到什么结论？

Answer 1

分析 a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{\frac{1}{2}}$=2，可得：①a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=2；②a²+a^-2=（a+a^-1）²-2=2；③a³+a^-3=（a+a^-1）（a²-1+a^-2）=2．猜想可得结论：aⁿ+a^-n=2．

解答 解：∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{\frac{1}{2}}$=2，
∴①a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=2²-2=2；
②a²+a^-2=（a+a^-1）²-2=2²-2=2；
③a³+a^-3=（a+a^-1）（a²-1+a^-2）=2×（2-1）=2．
猜想可得结论：aⁿ+a^-n=2．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．