Question

12．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，若a₁=$\frac{1}{2}$，其前n项和为S_n，则S₂₀₁₅=1009．

Answer 1

分析 计算数列的前几项，即可得到是周期为3的数列，即可得到前2015项的和．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$，由a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，
可得a₂=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，a₃=$\frac{1}{1-2}$=-1，a₄=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
即有a_n+3=a_n，则该数列为周期为3的数列．
则S₂₀₁₅=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=671（a₁+a₂+a₃）+（a₁+a₂）
=671×（$\frac{1}{2}$+2-1）+$\frac{1}{2}$+2=1009．
故答案为：1009．

点评 本题考查数列求和的方法：运用周期法，注意计算归纳出数列的周期，考查运算能力，属于中档题．