Question

19．已知数列{a_n}，满足对任意的正整数m，n，都有a_m+a_n=2（m+n-1）成立．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n
（2）设b_n=2ⁿ•a_n（n∈N₊）．求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过在a_m+a_n=2（m+n-1）中令m=n=1可知a₁=1，利用a_n+a₁=2（n+1-1）计算可知a_n=2n-1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=（2n-1）•2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，a₁+a₁=2（1+1-1），
解得：a₁=1，
∴a_n+a₁=2（n+1-1），
整理得：a_n=2n-a₁=2n-1，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²；
（2）由（1）可知b_n=2ⁿ•a_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．