题目内容
(本小题满分12分)
已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和;且Sn =" 2" an -2(n∈N*);
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn= (n∈N*);
求证:对于任意的正整数n,总有Tn <2;
(3)在正数数列{cn}中,设 (cn) n+1 = an+1(n∈N*);求数列{cn}中的最大项。
已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和;且Sn =" 2" an -2(n∈N*);
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn= (n∈N*);
求证:对于任意的正整数n,总有Tn <2;
(3)在正数数列{cn}中,设 (cn) n+1 = an+1(n∈N*);求数列{cn}中的最大项。
(1)因为Sn=2an-2(n∈N*),所以Sn-1=2an-1-2(n≥2,n∈N*)。
二式相减得:an="2" an-2an-1(n≥2,n∈N*),
因为an≠0,所以=2(n≥2,n∈N*),
即数列{ an}是等比数列,
又因为a1=S1,所以a1="2" a1-2,即a1=2,所以an=2n(n∈N*)(4分)
(2)证明:对于任意的正整数n,总有bn==,
所以当n≥2时,Tn=++……+≤1+++……+=1+1-+-+……+-=2-<2;
当n=1时,T1=1<2仍成立;
所以,对于任意的正整数n,总有Tn <2。(8分)
(3)解:由(cn)n+1=an+1=n+1(n∈N*)
知:lncn=。令f(x)=,
则f′(x)=,因为在区间(0,e)上,f′(x)>0,在区间(e,+∞)上,f′(x)<0,
所以在区间(e,+∞)上f(x)为单调递减函数,所以n≥3且n∈N*时,{lncn}是递减数列,
又lnc1< lnc2 lnc3< lnc2,
所以,数列{lncn}中的最大项为lnc2=ln3,所以{cn}中的最大项为c2=。(12分)
二式相减得:an="2" an-2an-1(n≥2,n∈N*),
因为an≠0,所以=2(n≥2,n∈N*),
即数列{ an}是等比数列,
又因为a1=S1,所以a1="2" a1-2,即a1=2,所以an=2n(n∈N*)(4分)
(2)证明:对于任意的正整数n,总有bn==,
所以当n≥2时,Tn=++……+≤1+++……+=1+1-+-+……+-=2-<2;
当n=1时,T1=1<2仍成立;
所以,对于任意的正整数n,总有Tn <2。(8分)
(3)解:由(cn)n+1=an+1=n+1(n∈N*)
知:lncn=。令f(x)=,
则f′(x)=,因为在区间(0,e)上,f′(x)>0,在区间(e,+∞)上,f′(x)<0,
所以在区间(e,+∞)上f(x)为单调递减函数,所以n≥3且n∈N*时,{lncn}是递减数列,
又lnc1< lnc2 lnc3< lnc2,
所以,数列{lncn}中的最大项为lnc2=ln3,所以{cn}中的最大项为c2=。(12分)
略
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