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【题目】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试(一模)数学(文)】已知函数的导函数,为自然对数的底数.

(1)讨论的单调性;

(2)当时,证明:

(3)当时,判断函数零点的个数,并说明理由.

【答案】(1)①当时, 上为减函数;②当时, 的减区间为,增区间为;(2) 证明见解析;(3)一个零点,理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)讨论函数单调性,先求导,当时,,故上为减函数;当时,解可得,故的减区间为,增区间为;(2)根据,构造函数,设,当时,,所以是增函数,,得证;(3)判断函数的零点个数,需要研究函数的增减性及极值端点,由(1)可知,当时,是先减再增的函数,其最小值为,而此时,且,故恰有两个零点

从而得到的增减性,时,;当时,;当时,,从而两点分别取到极大值和极小值,再证明极大值,所以函数不可能有两个零点,只能有一个零点.

试题解析:

(1)对函数求导得

①当时,,故上为减函数;

②当时,解可得,故的减区间为,增区间为

(2) ,设,则

易知当时,

(3)由(1)可知,当时,是先减再增的函数,

其最小值为

而此时,且,故恰有两个零点

∵当时,;当时,;当时,

两点分别取到极大值和极小值,且

,∴,但当时,,则,不合题意,所以,故函数的图象与轴不可能有两个交点.

∴函数只有一个零点.

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