题目内容
【题目】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试(一模)数学(文)】已知函数是的导函数,为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:;
(3)当时,判断函数零点的个数,并说明理由.
【答案】(1)①当时, 在上为减函数;②当时, 的减区间为,增区间为;(2) 证明见解析;(3)一个零点,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)讨论函数单调性,先求导,当时,,故在上为减函数;当时,解可得,故的减区间为,增区间为;(2)根据,构造函数,设,,当时,,所以是增函数,,得证;(3)判断函数的零点个数,需要研究函数的增减性及极值端点,由(1)可知,当时,是先减再增的函数,其最小值为,而此时,且,故恰有两个零点,
从而得到的增减性,当时,;当时,;当时,,从而在两点分别取到极大值和极小值,再证明极大值,所以函数不可能有两个零点,只能有一个零点.
试题解析:
(1)对函数求导得,
,
①当时,,故在上为减函数;
②当时,解可得,故的减区间为,增区间为;
(2) ,设,则,
易知当时,,
;
(3)由(1)可知,当时,是先减再增的函数,
其最小值为,
而此时,且,故恰有两个零点,
∵当时,;当时,;当时,
,
∴在两点分别取到极大值和极小值,且,
由知,
∴,
∵,∴,但当时,,则,不合题意,所以,故函数的图象与轴不可能有两个交点.
∴函数只有一个零点.
【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日 期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差(°C) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
(注: )
【题目】(本小题满分10分,第(1)问 5分,第(2)问 5 分)
近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息,微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的名顾客进行统计,其中岁以下占,采用微信支付的占, 岁以上采用微信支付的占。
(1)请完成下面列联表:
岁以下 | 岁以上 | 合计 | |
使用微信支付 | |||
未使用微信支付 | |||
合计 |
(2)并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”?
参考公式: , .
参考数据: