Question

甲、乙、丙三人轮流投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规则如下：如果某人某一次掷出1点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其他点数，则另外两个人抓阄决定由谁来投掷，且第一次由甲投掷．设第n次由甲投掷的概率是p_n，由乙或丙投掷的概率均为q_n．
（1）计算p₁，p₂，p₃的值；
（2）求数列{P_n}的通项公式；
（3）如果一次投掷中，由任何两个人投掷的概率之差的绝对值小于0.001，则称此次投掷是“机会接近均等”，那么从第几次投掷开始，机会接近均等？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据规则，可求p₁，p₂，p₃的值；
（2）设第n-1次由甲投掷的概率是p_n-1（n≥2），则第n-1次由甲投掷而第n次仍由甲投掷的概率是，第n-1次由另两人投掷而第n次由甲投掷的概率是，…，由此可得通项公式；
（3）由，结合（2）的结论，利用任何两个人投掷的概率之差的绝对值小于0.001，建立不等式，即可求得结论．
解答：解：（1）由题意，…（5分）
（2）设第n-1次由甲投掷的概率是p_n-1（n≥2），则
第n-1次由甲投掷而第n次仍由甲投掷的概率是，
第n-1次由另两人投掷而第n次由甲投掷的概率是，…（9分）
于是，
递推得．  …（12分）
（3）由，得，∴n≥6
故从第6次开始，机会接近均等．…（15分）
点评：本题考查概率知识的运用，考查数列通项的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．