题目内容

在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上有一点M，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若|
MF1
|•|
MF2
|=2b2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
分析：根据椭圆的定义，得|
MF1
|+|
MF2
|=2a，再由基本不等式，得
|
MF1
|•|
MF2
|
≤
|
MF1
|+|
MF2
|
2
=a，代入|
MF1
|•|
MF2
|=2b2，得
2b2
≤a，化简即得椭圆离心率的取值范围．
解答：解：∵点M在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，
∴根据椭圆的定义，得|
MF1
|+|
MF2
|=2a
由基本不等式，有
|
MF1
|•|
MF2
|
≤
|
MF1
|+|
MF2
|
2
=a
∵|
MF1
|•|
MF2
|=2b2
∴
2b2
≤a，可得2b2≤a2，即2（a2-c2）≤a2
所以a2≤2c2，a≤
2
c，离心率e=
c
a
≥
2
2

∵椭圆的离心率e∈（0，1）
∴
2
2
≤e＜1
故选B
点评：本题给出椭圆上动点到椭圆两焦点距离之积为常数2b2，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了基本不等式和椭圆的基本概念等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2 
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，
2
2
）在椭圆上，且
PF1
•
F1F2
=0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当
OA
•
OB
=λ，且满足
2
3
≤λ≤
3
4
时，求弦长|AB|的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆
x2
a2
+y2=1(a＞1)上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为
27
8
，则实数a的值为
3
3
．
（2013•温州二模）椭圆
x2
a2
+y2=1的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则该椭圆的离心率为（　　）
椭圆
x2
a2
+y2=1(a＞1)的一个焦点为F，点P在椭圆上，且|
OP
|=|
OF
|（O为坐标原点），则△OPF的面积S=
1
2
a2-1
1
2
a2-1
．
已知A(4，
12
5
)，B(x1，y1)，C(x2，y2)三点在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上，△ABC的重心与此椭圆的右焦点F（3，0）重合
（1）求椭圆方程
（2）求BC的方程．

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