题目内容

椭圆
x2
a2
+y2=1(a>1)
的一个焦点为F,点P在椭圆上,且|
OP
|=|
OF
|
(O为坐标原点),则△OPF的面积S=
1
2
a2-1
1
2
a2-1
分析:利用椭圆的参数方程设出P的坐标,根据|
OP
|=|
OF
|
,求出P的纵坐标,然后求出三角形的面积即可.
解答:解:椭圆
x2
a2
+y2=1(a>1)
的一个焦点为F(
a2-1
,0),
设P(acosθ,sinθ)θ∈(0,
π
2
)
,因为|
OP
|=|
OF
|

所以,a2cos2θ+sin2θ=(
a2-1
2,解得sinθ = 
1
a2-1

所以△OPF的面积S=
1
2
×(
a2-1
)2×
1
a2-1
=
1
2
a2-1

故答案为:
1
2
a2-1
点评:本题是中档题,考查椭圆与向量的关系,求出P的纵坐标是解题的关键,考查计算能力.
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