Question

已知：

a

=(

3

-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在实数k和角x使

c

=

a

+(sinx-3)

b

，

d

=-k

a

+sinx

b

，且

c

⊥

d

，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意，先求出 

a

2，

b

2，

a

•

b

 的值，由

c

•

d

=0得到4k=(sinx-

3

2

)2-

9

4

，利用二次函数的性质求得4k的最值，即可得到实数k的值域．

解答：解：

a

2=4，

b

2=1，

a

•

b

=0，
由题意得

c

•

d

=（

a

+(sinx-3)

b

）•（-k

a

+sinx

b

）=-k

a

2+sinx

a

•

b

-k（sinx-3）

a

•

b

+sinx（sinx-3）

b

2
=-4k+0+0+sinx（sinx-3）=0，
∴4k=(sinx-

3

2

)2-

9

4

，
∴当sinx=1时，4k有最小值为-2，
当 sinx=-1时，4k有最大值为 4．  故 k 的最小值-

1

2

，k的最大值为1，
综上，实数k的取值范围为[-

1

2

，1]．

点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，以及二次函数的最值的求法．