Question

【题目】已知函数，，其中是自然常数.

(1)判断函数在内零点的个数，并说明理由；

(2)，，使得不等式成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 存在1个零点；理由见解析.

(2) .

【解析】分析：（1）在内零点的个数1，求得的导数，判断符号，可得单调性，再由函数零点存在定理，即可得到结论；
（2）由题意可得，即 ，分别求得 在上的单调性，可得最值，解的不等式，即可得到所求范围．

详解：

(1)函数在上的零点的个数为1，理由如下：

因为，所以，

因为，所以，所以函数在上单调递增.

因为，，

根据函数零点存在性定理得函数在上存在1个零点.

(2)因为不等式等价于，

所以，，使得不等式成立，等价于

，即，

当时，，故在区间上单调递增，

所以当时，取得最小值，又，

当时，，，，所以，

故函数在区间上单调递减.

因此，当时，取得最大值，所以，所以，

所以实数的取值范围为.