Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+1=S_n+1（n∈N^*），a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，求数列$\{\frac{1}{d_n}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=S_n+1（n∈N^*），可得a_n=S_n-1+1（n∈N^*，n≥2），两者相减得a_n+1=2a_n（n∈N^*，n≥2），利用a₁=1，计算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{1}{d_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$，写出T_n、$\frac{1}{2}{T}_{n}$的不等式，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=S_n-1+1（n∈N^*，n≥2），
两式相减，得a_n+1=2a_n（n∈N^*，n≥2），
又a₁=1，∴a₂=S₁+1=a₁+1=2=2a₁，
∴${a_n}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a_n}={2^{n-1}}$，${a_{n+1}}={2^n}$，
所以${d_n}=\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{n+1}=\frac{{{2^{n-1}}}}{n+1}$，$\frac{1}{d_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$，
则${T_n}=\frac{2}{2^0}+\frac{3}{2^1}+\frac{4}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n+1}{2^n}$，
两式相减，得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+1}{2^n}=2+\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n+1}{2^n}=3-\frac{n+3}{2^n}$
所以${T_n}=6-\frac{n+3}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查运算能力、推理能力、分析问题解决问题的能力，属于中档题．