题目内容
如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
，EF=2．
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为45°？
| 3 |
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为45°？
如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系
设AB=a，BE=b，CF=c，（b＜c）
则C(0，0，0)，A(
，0，a)，B(
，0，0)，E(
，b，0)，
F（0，c，0），D（0，0，a）（2分）
（I）
=(
，0，0)，
=(
，0，0)，
=(
，b-c，0)，
由|
|=2，得3+（b-c）2=4，∴b-c=-1．
所以
=(
，-1，0)．
所以cos＜
，
＞=
=
=
，
所以异面直线AD与EF成30°
（II）设
=(1，y，z)为平面AEF的法向量，则
•
=0，
•
=0，
结合|
|2+|
|2=|
|2-|
|2，
解得
=(1，
，
)．（8分）
又因为BA⊥平面BEFC，
=(0，0，a)，
所以cos＜
，
＞
=
=
，
得到a=
．
所以当AB为
时，二面角A-EF-C的大小为45°．
设AB=a，BE=b，CF=c，（b＜c）
则C(0，0，0)，A(
| 3 |
| 3 |
| 3 |
F（0，c，0），D（0，0，a）（2分）
（I）
| DA |
| 3 |
| CB |
| 3 |
| FE |
| 3 |
由|
| FE |
所以
| FE |
| 3 |
所以cos＜
| DA |
| FE |
| ||||
|
|
| 3 | ||
|
| ||
| 2 |
所以异面直线AD与EF成30°
（II）设
| n |
| n |
| AE |
| n |
| EF |
结合|| BC |
| BE |
| CF |
| EF |
解得
| n |
| 3 |
3
| ||
| a |
又因为BA⊥平面BEFC，
| BA |
所以cos＜
| n |
| BA |
| ||||
|
|
3
| ||
a
|
| ||
| 2 |
得到a=
3
| ||
| 2 |
所以当AB为
3
| ||
| 2 |
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