题目内容

(2013•闸北区一模)假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念,但还没有学习过对数的相关概念.由指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在实数集R上是单调函数,可知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)存在反函数y=f-1(x),x∈(0,+∞).请你依据上述假设和已知,在不涉及对数的定义和表达形式的前提下,证明下列命题:
(1)对于任意的正实数x1,x2,都有f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2)
(2)函数y=f-1(x)是单调函数.
分析:(1)利用指数函数的性质和反函数的定义即可证明;
(2)对底数a分a>1与0<a<1讨论,利用指数函数的单调性即可证明.
解答:证明:(1)设y1=f-1(x1)y2=f-1(x2)
由题意,有x1=ay1x2=ay2
x1x2=ay1ay2=ay1+y2
y1+y2=f-1(x1x2),即f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2).         
(2)当a>1时,y=f-1(x)是增函数.
证明:设x1>x2>0,即ay1>a y2>0
又由指数函数y=ax(a>1)是增函数,得y1>y2,即f-1(x1)>f-1(x2).                                       
∴当a>1时,y=f-1(x)是增函数.                              
同理,当0<a<1时,y=logax是减函数.
点评:熟练掌握指数函数的单调性和反函数的定义是解题的关键.
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