题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在
处的切线方程为
,求实数
,
的值;
(2)若函数在
和
两处取得极值,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由题意得:,
,解得
,
.
(2)由题意知:有两个零点
,
,
令,而
.
对时和
时分类讨论,解得:
.经检验,合题;
(3)由题意得,,即
.
所以,令
,即
,
令,求导,得
在
上单调递减,即
.
,
.令
,求导得
在
上单调递减,得
的取值范围.
(1),
由题意得:,即
,
即
,所以
,
.
(2)由题意知:有两个零点
,
,
令,而
.
①当时,
恒成立
所以单调递减,此时
至多1个零点(舍).
②当时,令
,解得:
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,
因为有两个零点,所以
,
解得:.
因为,
,且
,
而在
上单调递减,
所以在
上有1个零点;
又因为(易证
),
则且
,
而在
上单调递增,
所以在
上有1个零点.
综上:.
(3)由题意得,,即
.
所以,令
,即
,
令,
,
令,而
,
所以在
上单调递减,即
,
所以在
上单调递减,即
.
因为,
.
令,而
恒成立,
所以在
上单调递减,又
,
所以.
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