Question

【题目】已知函数是奇函数．

(Ⅰ)求实数的值；

(Ⅱ)用定义证明函数在上的单调性；

(Ⅲ)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知，函数是上的奇函数，则有，从而可解得；（Ⅱ）用定义法证明函数单调性的步骤为：①取值，根据定义域（或指定的区域）任取，且；②作差（或作商），，对其式子进行化简整理；③判断符号，即，或；④下结论；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知函数是奇函数，且在上单调递增，则，等价于，即，再分离参数得，由不等式恒成立问题，从而可得解.

试题解析：（Ⅰ)∵函数的定义域为R，且是奇函数，∴，解得

此时，满足，即是奇函数．

∴． …… 4分

(Ⅱ) 任取，且，则，，

于是

即，故函数在上是增函数． …… 8分

（Ⅲ）由及是奇函数，知

又由在上是增函数，得，即对任意的恒成立

∵当时，取最小值，∴ …… 12分