Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知F₁（-$\sqrt{n}$，0），F₂（$\sqrt{n}$，0），F₃（0，$\sqrt{3}$），点P为曲线C上任意一点，若F₁F₃⊥F₂F₃，且|PF₁|与|PF₂|是关于x的方程x²-4x+q=0的两根
（1）求曲线C的方程
（2）已知Q为曲线C的左顶点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于A、B两点，且∠AQB=$\frac{π}{2}$
     ①判断直线l是否过x轴上的某一定点N，并说明理由
     ②设AB的中点为M，当直线OM与直线l的倾斜角互补时，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理，F₁F₃⊥F₂F₃，确定|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，可得曲线C为以F₁，F₂为焦点的椭圆，且a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求曲线C的方程
（2）①设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=0，即可得出结论；
 ②由①可得l：y=k（x+1.2）（k≠0），代入椭圆方程，可得M的坐标，求出|QM|，即可得出结论．

解答 解：（1）因为|PF₁|与|PF₂|是关于x的方程x²-4x+q=0的两根，
所以|PF₁|+|PF₂|=4，
因为F₁（-$\sqrt{n}$，0），F₂（$\sqrt{n}$，0），F₃（0，$\sqrt{3}$），F₁F₃⊥F₂F₃，
所以-n+3=0，
所以n=3，
所以|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，
所以|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，
所以曲线C为以F₁，F₂为焦点的椭圆，且a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）①设直线l过x轴上的某一定点N（m，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=k（x-m），
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8mk²x+4k²m²-4=0，△＞0，化为1+4k²-k²m²＞0
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
因为Q（-2，0），∠AQB=$\frac{π}{2}$
所以$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=0，
所以（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
所以代入整理可得5k²m²+16mk²+12k²=0，
因为∠AQB=$\frac{π}{2}$，
所以k≠0，
所以5m²+16m+12=0，
所以m=-1.2（m=-2舍去），
所以N（-1.2，0）；
②由①可得l：y=k（x+1.2）（k≠0），代入椭圆方程可得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0，
M（-$\frac{24{k}^{2}}{5+20{k}^{2}}$，$\frac{6k}{5+20{k}^{2}}$），
所以k_OM=-$\frac{1}{4k}$，
因为直线OM与直线l的倾斜角互补，
所以k-$\frac{1}{4k}$=0，
所以k=$±\frac{1}{2}$，
所以M（-$\frac{3}{5}$，±$\frac{3}{10}$），
所以|QM|=$\sqrt{（2-\frac{3}{5}）^{2}+（±\frac{3}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{205}}{10}$，
所以|AB|=2|OM|=$\frac{\sqrt{205}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．