[题目]已知,定点,定直线和上的动点满足:在直线的同侧,点在直线的另一侧.以为焦点作与直线相切的椭圆,且当在上运动时,椭圆的长轴长为定值.(1)求直线的方程,(2)对于第一象限内任意2012个在椭圆上的点,是否一定可以将它们分成两组,使得其中一组点的横坐标之和不大于2013,另一组点的纵坐标之和不大于2013?请证明你的结论. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知,定点,定直线和上的动点满足：在直线的同侧,点在直线的另一侧.以为焦点作与直线相切的椭圆,且当在上运动时,椭圆的长轴长为定值.

(1)求直线的方程；

(2)对于第一象限内任意2012个在椭圆上的点,是否一定可以将它们分成两组,使得其中一组点的横坐标之和不大于2013,另一组点的纵坐标之和不大于2013?请证明你的结论.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

(1)设点关于直线的对称点为.则过椭圆与直线的切点.从而, (即椭圆的长轴长)为定值.于是,点Q在以为圆心、为半径的圆上.

由的任意性及在上,知.故点与重合,即直线为线段的中垂线.

注意到,.

因为的中点为,所以,直线的方程为.

(2)可以.

设这2012个点为.

由(1)知直线的方程为.

又易知点在直线的下方,故,且.

不失一般性,不妨设.

(i)若,则将点分为一组,点作为一组符合题意.

(ii)若,则存在,使得

,且.

于是,对任意的,有.

故

将点分为一组,点分为一组.则前一组点的横坐标之和不大于2013,后一组点的纵坐标之和不大于2013.

练习册系列答案

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	有兴趣	没有兴趣	合计
男	30
女		15
合计			120

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附:，其中n=a+b+c+d

P	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
	2.072	2.076	3.841	5.024	6.635

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