题目内容
10.已知直角三角形周长为2,求该三角形面积最大值.分析 设直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,因为L=a+b+c,c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$,两次运用均值不等式即可求解.
解答 解:直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,面积为s,周长L=2,
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=L≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$.(当且仅当a=b时取等号)
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$.
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$($\frac{L}{2+\sqrt{2}}$)2
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{L}^{2}}{6+4\sqrt{2}}$=$\frac{4}{2(6+4\sqrt{2})}$=3-2$\sqrt{2}$.
故当且仅当a=b=2-$\sqrt{2}$,该三角形的面积最大,且为3-2$\sqrt{2}$.
点评 利用均值不等式解决实际问题时,列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键.
练习册系列答案
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15.由平面内性质类比出空间几何的下列命题,你认为正确的是( )
A. | 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 | |
B. | 同垂直于一条直线的两条直线互相平行 | |
C. | 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 | |
D. | 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 |
2.点O在△ABC内部且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$,则△ABC的面积与凹四边形ABOC的面积之比是( )
A. | $\frac{6}{5}$ | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |
20.若f(x)=x3,f′(x0)=3,则x0的值为( )
A. | 1 | B. | -1 | C. | 1或-1 | D. | $\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$ |