题目内容

10.已知直角三角形周长为2,求该三角形面积最大值.

分析 设直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,因为L=a+b+c,c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$,两次运用均值不等式即可求解.

解答 解:直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,面积为s,周长L=2,
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=L≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$.(当且仅当a=b时取等号)
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$.
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$($\frac{L}{2+\sqrt{2}}$)2
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{L}^{2}}{6+4\sqrt{2}}$=$\frac{4}{2(6+4\sqrt{2})}$=3-2$\sqrt{2}$.
故当且仅当a=b=2-$\sqrt{2}$,该三角形的面积最大,且为3-2$\sqrt{2}$.

点评 利用均值不等式解决实际问题时,列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键.

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