题目内容

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=2a_n²+2a_n，其中n为正整数．
（1）设b_n=2a_n+1，证明：数列{b_n}是“平方递推数列”，且数列{lgb_n}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{b_n}的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式；
（3）记c_n= $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2008的n的最小值．

解：（1）由条件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴{b_n}是“平方递推数列”．∴lgb_n+1=2lgb_n．∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴ $\text{[math]}$ =2．
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg（2a_n+1）=2^n-1?lg5，∴2a_n+1= $\text{[math]}$ ，∴a_n= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）．
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）= $\text{[math]}$ =（2ⁿ-1）lg5．
∴T_n=5^2n-1．
（3）c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，
∴S_n=2n-[1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ++ $\text{[math]}$ ]=2n- $\text{[math]}$ =2n-2[1- $\text{[math]}$ ]=2n-2+2 $\text{[math]}$ ．
由S_n＞2008得2n-2+2 $\text{[math]}$ ＞2008，n+ $\text{[math]}$ ＞1005，
当n≤1004时，n+ $\text{[math]}$ ＜1005，当n≥1005时，n+ $\text{[math]}$ ＞1005，∴n的最小值为1005．
分析：（1）依据“平方递推数列”定义，结合条件a_n+1=2a_n²+2a_n，可证数列{b_n}是“平方递推数列”，进而有lgb_n+1=2lgb_n．从而可证数列{lgb_n}为等比数列；
（2）由（1）可得a_n= $\text{[math]}$ （5^2n-1-1），对T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1）两边取对数，可求得T_n=5^2n-1．
（3）c_n=2- $\text{[math]}$ ，S_n=2n-2+2 $\text{[math]}$ ．要使S_n＞2008，则有n+ $\text{[math]}$ ＞1005，从而可求n的最小值．
点评：本题考查新定义，将数列放到新情境中，关键是正确理解题意，挖掘问题的本质与隐含．