题目内容
6．已知在△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C所对的三边，G为△ABC的重心，且满足4a•$\overrightarrow{GA}$+2b•$\overrightarrow{GB}$+3c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．（1）求cosB的值；
（2）如果△ABC的周长为13，△ABC的内切圆的半径为$\sqrt{35}$，求△ABC的面积．
分析 （1）重心为G，4a•$\overrightarrow{GA}$+2b•$\overrightarrow{GB}$+3c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，可得4a=2b=3c，再结合余弦定理，即可得出结论．
（2）连接三角形内心和三个顶点，即可求三角形面积．
解答 解：（1）∵重心为G，4a•$\overrightarrow{GA}$+2b•$\overrightarrow{GB}$+3c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
则4a•$\overrightarrow{GA}$+2b•$\overrightarrow{GB}$=-3c•$\overrightarrow{GC}$=-3c（-$\overrightarrow{GA}$-$\overrightarrow{GB}$），
即（4a-3c）$\overrightarrow{GA}$+（2b-3c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
又因∵$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共线，则4a-3c=0，2b-3c=0，
∴4a=2b=3c，
不妨设4a=2b=3c=1，则cosB=$\frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{9}-\frac{1}{4}}{2×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}}$=$-\frac{11}{24}$．
（2）∵a+b+c=13，r=$\sqrt{35}$
S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r=$\frac{1}{2}×13×\sqrt{35}$=$\frac{13\sqrt{35}}{2}$．
点评 本题主要考查了向量在几何中的应用，以及重心的性质，同时考查了余弦定理的应用，属于中档题．
为保障行车安全，有关方面决定自2015年3月14日起，对开通至今已27年延安东路隧道进行封闭大修．如图所示，A点是延安东路隧道浦东入口处，B点是人民隧道入口处，C点是复兴东路隧道入口处，A、B、C三点可近似看成在一条直线上．已知AB间距离约为1.2km，BC间距离约为0.8km．现在有一车辆在银城浦东南路路口的D点处此路口到A点的距离约为0.8km，此处连接A点与B点的线段张角为70°．请问这个路口到复兴东路隧道入口的距离约为多少千米？（结果精确到0.1km）
| A． | $\sqrt{13}$ | B． | 17 | C． | $\frac{53}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{53}}{2}$ |