题目内容
15.设命题p:函数y=cx在R上单调递减命题q:关于x不等式x+$\frac{1}{x+1}$>2c对于x>-1恒成立
如果p∨q是真命题,p∧q是假命题,求c的范围.
分析 由函数y=cx在R上单调递减得c的范围,由基本不等式求出x+$\frac{1}{x+1}$得最小值,结合x+$\frac{1}{x+1}$>2c对于x>-1恒成立求出c的范围,最后由p∨q是真命题,p∧q是假命题,得p、q中一个真命题,一个假命题,从而求得c的范围.
解答 解:p:函数y=cx在R上单调递减,即p:0<c<1.
∵x>-1,∴x+1>0,
由x+$\frac{1}{x+1}$=(x+1)+$\frac{1}{x+1}$-1>$2\sqrt{(x+1)•\frac{1}{x+1}}-1=1$,
当$x+1=\frac{1}{x+1}$,即x=0时x+$\frac{1}{x+1}$有最小值1,
∴2c<1,得$c<\frac{1}{2}$.
故q:$c<\frac{1}{2}$.
∵p∨q是真命题,p∧q是假命题,∴p、q中一个真命题,一个假命题,
当p是真命题,q是假命题时,$\frac{1}{2}≤c<1$,
当p是假命题,q是真命题时,c∈∅.
∴c的范围是[$\frac{1}{2}$,1).
点评 本题考查逻辑联结词的概念、函数和不等式的应用,是中档题.
练习册系列答案
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A. | 4π | B. | 16π | C. | $\frac{32π}{3}$ | D. | $\frac{4π}{3}$ |