已知函数y=f(x)是R上的偶函数.对?x∈R.都有f成立．当x1.x2∈[0.2].且x1≠x2时.都有$\frac{{f}}{{{x 1}-{x 2}}}＜0$.给出下列命题:=0,(2)直线x=-4是函数y=f(x)图象的一条对称轴,在[-4.4]上有四个零点,．其中所有正确命题的序号为①②④．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对?x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂时，都有

$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$ ，给出下列命题：
（1）f（2）=0；
（2）直线x=-4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；
（3）函数y=f（x）在[-4，4]上有四个零点；
（4）f（2015）=f（1）．
其中所有正确命题的序号为①②④．

分析由函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我们令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，进而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有 $\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$ ，我们易得函数在区间[0，2]单调递减，由此我们画出函数的简图，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．

解答解：∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
当x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函数y=f（x）是R上的偶函数
∴f（-2）=f（2）=0，
又由当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有 $\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$ ，
∴函数在区间[0，2]单调递减
故函数f（x）的简图如下图所示：

由图可知：①正确，②正确，③错误，④正确
故答案：①②④．

点评本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误．

练习册系列答案

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$\frac{π}{6}$ 个单位后，得到的图象关于直线x=

$\frac{π}{6}$ 对称，则ω的最小值为（　　）

$\frac{1}{2}$

$\frac{7}{2}$

$\overrightarrow a$ 与

$\overrightarrow b$ 的夹角为

$\frac{π}{3}，|{\overrightarrow a}|=3，|{\overrightarrow b}|=2，\overrightarrow c=3\overrightarrow a+5\overrightarrow b，\overrightarrow d=m\overrightarrow a-3\overrightarrow b$ 若

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$\frac{29}{14}$

$\frac{29}{14}$

$\frac{29}{7}$

$\frac{29}{7}$

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