题目内容
设a≥0，函数f（x）=[x2+（a-3）x-2a+3]ex，g（x）=2-a-x-
。
（I）当a≥1时，求f（x）的最小值；
（II）假设存在x1，x2∈（0，+∞），使得|f（x1）-g（x2）|<1成立，求a的取值范围。
。（I）当a≥1时，求f（x）的最小值；
（II）假设存在x1，x2∈（0，+∞），使得|f（x1）-g（x2）|<1成立，求a的取值范围。
解：（Ⅰ）∵
，
∵
，
∴
时，f（x）递增，
时，f（x）递减，
时，f（x）递增，
所以f（1）的极大值点为x1=-a，极小值点为x2=1，
而
，
由于，对二次函数
，对称轴为
，
，
∴当
时，
，
∴
，
当x>-a时，f（x）的最小值为
，
所以，f（x）的最小值是
；
（II）由（Ⅰ）知f（x）在的值域是：
当a≥1时，为
，当
时，为
；
而
在
的值域是为
，
所以，当
时，令
，并解得
，
当
时，令
，无解，
因此，a的取值范围是
。
，∵
， ∴
时，f（x）递增，时，f（x）递减，时，f（x）递增，所以f（1）的极大值点为x1=-a，极小值点为x2=1，
而
，由于，对二次函数
，对称轴为，， ∴当
时，，∴
，当x>-a时，f（x）的最小值为
，所以，f（x）的最小值是
；（II）由（Ⅰ）知f（x）在的值域是：
当a≥1时，为
，当时，为；而
在的值域是为， 所以，当
时，令，并解得，当
时，令，无解，因此，a的取值范围是
。
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