题目内容
设a≥0,函数f(x)=[x2+(a-3)x-2a+3]ex,g(x)=2-a-x-
。
(I)当a≥1时,求f(x)的最小值;
(II)假设存在x1,x2∈(0,+∞),使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求a的取值范围。

(I)当a≥1时,求f(x)的最小值;
(II)假设存在x1,x2∈(0,+∞),使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求a的取值范围。
解:(Ⅰ)∵
,
∵
,
∴
时,f(x)递增,
时,f(x)递减,
时,f(x)递增,
所以f(1)的极大值点为x1=-a,极小值点为x2=1,
而
,
由于,对二次函数
,对称轴为
,
,
∴当
时,
,
∴
,
当x>-a时,f(x)的最小值为
,
所以,f(x)的最小值是
;
(II)由(Ⅰ)知f(x)在的值域是:
当a≥1时,为
,当
时,为
;
而
在
的值域是为
,
所以,当
时,令
,并解得
,
当
时,令
,无解,
因此,a的取值范围是
。

∵

∴



所以f(1)的极大值点为x1=-a,极小值点为x2=1,
而

由于,对二次函数



∴当


∴

当x>-a时,f(x)的最小值为

所以,f(x)的最小值是

(II)由(Ⅰ)知f(x)在的值域是:
当a≥1时,为



而



所以,当



当


因此,a的取值范围是


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