题目内容
已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|,(Ⅰ)当a=2时,写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值;
(Ⅲ)设a≠0,函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m、n的取值范围(用a表示).
【答案】分析:(I)将a=2代入函数的解析得出f(x)=x|x-2|,将其变为分段函数,利用二次函数的图象与性质研究其单调性即可
(Ⅱ)当a>2时,函数y=f(x)在区间[1,2]上解析式是确定的,去掉绝对号后根据二次函数的性质确定其单调性,再求最值.
(Ⅲ)a≠0,函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值说明在函数最值不在区间端点处取得,在这个区间内必有两个极值,由函数的性质确定出极值,由于极值即为最值,故可借助函数的图象得m、n的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x|x-2|=
由二次函数的性质知,单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞)(开区间不扣分)
(Ⅱ)因为a>2,x∈[1,2]时,所以f(x)=x(a-x)=-x2+ax=
当1<≤,即2<a≤3时,f(x)min=f(2)=2a-4
当,即a>3时,f(x)min=f(1)=a-1
∴
(Ⅲ)
①当a>0时,图象如上图左所示
由得
∴,
②当a<0时,图象如上图右所示
由得
∴,
点评:本题考点是函数的最值及其几何意义,综合考查了二次函数的图象,最值等知识以及配方法求最值的技巧.解题时数形结合,转化灵活,综合性很强.
(Ⅱ)当a>2时,函数y=f(x)在区间[1,2]上解析式是确定的,去掉绝对号后根据二次函数的性质确定其单调性,再求最值.
(Ⅲ)a≠0,函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值说明在函数最值不在区间端点处取得,在这个区间内必有两个极值,由函数的性质确定出极值,由于极值即为最值,故可借助函数的图象得m、n的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x|x-2|=
由二次函数的性质知,单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞)(开区间不扣分)
(Ⅱ)因为a>2,x∈[1,2]时,所以f(x)=x(a-x)=-x2+ax=
当1<≤,即2<a≤3时,f(x)min=f(2)=2a-4
当,即a>3时,f(x)min=f(1)=a-1
∴
(Ⅲ)
①当a>0时,图象如上图左所示
由得
∴,
②当a<0时,图象如上图右所示
由得
∴,
点评:本题考点是函数的最值及其几何意义,综合考查了二次函数的图象,最值等知识以及配方法求最值的技巧.解题时数形结合,转化灵活,综合性很强.
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