Question

12．已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＜0，若a₂-a₁=8，a₃=m．
（1）当m=48时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是唯一的，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a₁和q的方程组，解方程组可得通项公式；
（2）问题转化为关于q的方程8q²-mq+m=0有唯一正数解，由△=0解m验证可得．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，q＞0，
当m=48时，由题意可得a_n＜0，q＞0，
a₂-a₁=a₁（q-1）=8，a₃=a₁q²=48，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8（2-\sqrt{3}）}\\{q=3+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8（2+\sqrt{3}）}\\{q=3-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=8（2-$\sqrt{3}$）（3+$\sqrt{3}$）^n-1或a_n=8（2+$\sqrt{3}$）（3-$\sqrt{3}$）^n-1；
（2）若数列{a_n}是唯一的，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（q-1）=8}\\{{a}_{1}{q}^{2}=m}\end{array}\right.$，
可得关于q的方程8q²-mq+m=0有唯一正数解，
∴△=m²-32m=0，解得m=32，
此时q=2，a₁=8满足题意
故m的值为32

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及分类讨论的思想和方程根的个数问题，属中档题．