题目内容
如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1,AD=2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；
(2)求异面直线PA与BC所成的角；
(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.
(1)解析：建立如图所示的直角坐标系D—xyz,
∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,
∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°.
在Rt△PAD中，由AD=2，得PD=23.
∴P(0,0,23).
(2)解析：∵
=(2,0,-2
), 
=(-2,-3,0),
∴cos〈
,
〉=
=-
.
∴PA与BC所成的角为arccos
.
(3)证明：∵M为PB的中点，
∴点M的坐标为(1,2,
).
∴
=(-1,2,
), 
=(1,1,
),PB=(2,4,-2
).
∵
·
=(-1)×2+2×4+
×(-2
)=0,
·
=1×2+1×4+3×(-2
)=0,?
∴
⊥
,
⊥
.
∴PB⊥平面AMC.
又PB
面PCB,
∴平面AMC⊥平面PBC.
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100分闯关期末冲刺系列答案
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