Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点到两焦点的距离和为$\frac{2}{3}$，短轴长为$\frac{1}{2}$，直线l与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）若直线MN与圆O：x²+y²=$\frac{1}{25}$相切，证明：∠MON为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM||ON|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义进行求解；
（2）利用圆心到直线的距离，求出直线的斜率与截距的关系，再利用平面向量的数量积求证角为定值；
（3）利用三角换元进行求解．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点到两焦点的距离和为$\frac{2}{3}$，得2a=$\frac{2}{3}$，即a=$\frac{1}{3}$；
由短轴长为$\frac{1}{2}$，得2b=$\frac{1}{2}$，即b=$\frac{1}{4}$
所以椭圆C方程：9x²+16y²=1          
（Ⅱ）当直线MN⊥x轴时，因为直线MN与圆O：x²+y²=$\frac{1}{25}$相切，
所以直线MN方程：x=$\frac{1}{5}$或x=-$\frac{1}{5}$，
当直线方程为x=$\frac{1}{5}$，得两点分别为（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5}$）和（$\frac{1}{5}$，-$\frac{1}{5}$），故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
所以∠MON=$\frac{π}{2}$；同理可证当x=-$\frac{1}{5}$，∠MON=$\frac{π}{2}$；
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与圆O：x²+y²=$\frac{1}{25}$的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直线MN与圆O相切得d=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{5}$，即25b²=k²+1，①
联立y=kx+b与椭圆方程，得（9+16k²）x²+32kbx+16b²-1=0，
∴△＞0，x₁+x₂=-$\frac{32kb}{9+16{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{b}^{2}-1}{9+16{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=$\frac{25{b}^{2}-{k}^{2}-1}{9+16{k}^{2}}$，②
由①②，得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即∠MON=$\frac{π}{2}$，
综上，∠MON=$\frac{π}{2}$为定值．
（Ⅲ）不妨设∠XOM=θ，则∠XON=θ±$\frac{π}{2}$，
由三角函数定义可知：M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ）
因为点M、N都在9x²+16y²=1上，
所以$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$=9cos²θ+16sin²θ，$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$=9sin²θ+16cos²θ
$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$•$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$=（9cos²θ+16sin²θ）（9sin²θ+16cos²θ）
=9×16+（9-16）²sin²θcos²θ
=9×16+（9-16）²$\frac{1}{4}$sin²2θ，
又sin²2θ∈[0，1]，故$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$•$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$∈[9×16，$\frac{625}{4}$]，
∴|OM||ON|的取值范围是[$\frac{2}{25}$，$\frac{1}{12}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查角为定值的证明，考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．