Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（1）若函数g（x）=x，f（x）在区间（-∞，

a

3

）内单调递减，求a的取值范围；
（2）当a=-1时，证明方程f（x）=2x³-1仅有一个实数根．
（3）当x∈[0，1]时，试讨论|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件．

Answer 1

分析：（1）依据不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3），可设函数f（x）-2x的解析式为（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．根据若函数g（x）区间 (-∞，

a

3

)内单调递减，通过导函数g′（x）＜0，求a的取值范围．
（2）若方程f（x）=2x³-1仅有一个实数根，我们可以构造函数h（x）=2x³+x²-4x-4，则函数h（x）=2x³+x²-4x-4无极值点，或两个极值点的函数值同号，求出函数的导函数，分析后，即可得到结论；
（3）构造函数r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1，根据二次函数的图象与性质，分析后构造关于a的不等式组，即可求出|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件．

解答：解：（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3），
∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax²+2（1-a）x-3a①
g（x）=xf（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax，
∵g（x）在区间 (-∞，

a

3

)内单调递减，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a在 (-∞，

a

3

)上的函数值非正，
由于a＜0，对称轴 x=

2(a-1)

3a

＞0，
故g/(

a

3

)=

a3

3

+

4

3

a(1-a)-3a≤0
注意到a＜0，∴a²+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范围是（-∞，-1]．
（2）当a=-1时，方程f（x）=2x³-1仅有一个实数根，即证方程2x³+x²-4x-4有且仅有一个实数根．
令h（x）=2x³+x²-4x-4，
由h′（x）=6x²+2x-4=0，得x=-1，或x=

2

3

由此易得函数h（x）=2x³+x²-4x-4在区间（-∞，-1），（

2

3

，+∞）上单调递增，在区间（-1，

2

3

）上递减
h（x）的极大值h（-1）=-1＜0
故函数h（x）的图象与x轴仅有一个交点，
∴当a=-1时，方程f（x）=2x³-1仅有一个实数根
（3）设r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，
r（0）=1，对称轴为x=-

1

2a

由题意，得

- 1 2 ≤a＜0 r(1)=a+2≤3

或

a＜- 1 2 r(- 1 2a )=1- 1 4a ≤3 r(1)=a+2≥-3

解得a≥-5
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件为a≥-5．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数单调性的性质，及二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式．步骤一般是首先确定所求问题含待定系数的解析式．其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程．最后解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．其中熟练掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系，熟练的进行相互转化是解答本题的关键．