Question

已知定义在（－∞，—1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f(3)=1;②对任意的x>2, 均有f(x)>0,③对任意的x>0,y>0.均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1) 
⑴试求f(2)的值;
⑵证明f(x)在(1,+∞)上单调递增；
⑶是否存在实数a,使得f(cos²θ+asinθ)<3对任意的θ（0，π）恒成立？若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

1）f(2)=0；   2) 见解析；
3）存在实数a∈(1,9),使得对任意的θ∈（0，π）恒成立.

试题分析：（1）根据对任意的正实数x，y都有均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1），令x=1，y=1，即可求出f（2）的值；
（2）由于函数没有具体解析式，要证其在（1，+∞）上为增函数，只能从条件；②对任意的x＞2均有f（x）＞0和条件③对任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）入手，取代入条件③，整理变形后借助于条件②可证出结论．
（3）令x=2，y=2，代入求得f（5），令x=2，y=4，代入求得f（9），
又，可得，根据条件②判断函数的单调性，根据已知条件把f（cos2θ+asinθ）＜3化为cos2θ+asinθ＜或1＜cos2θ+asinθ＜9，对任意的θ∈（0，π）恒成立，换元和分离参数即可求得a的范围．.
1）令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)
2) 任取X₁>1，X₂>1，X₂>X_1，则有  从而，
即
∴f(x)在（1，+∞）上单调递增……………（8分）
3）因为f(x)为奇函数，且在（1，+∞）上单调递增，令X=Y=2，得f（5）=f（3）+f（3）=2，再令X=2，Y=4，得f(9)=f(3)+f(5)=3,
由因为f(x)为奇函数，所以,于是f(x)<3的解集为；
（-∞，-）∪（1，9），于是问题转化为是否存在实数a,使对任意的θ∈（0，π）恒成立，令sinθ=t,则t∈(0,1]于是恒成立等价于恒成立.即恒成立，当t→0时，，故不存在实数a使对任意的
θ∈（0，π）恒成立.
1<cos²θ+asinθ<9恒成立等价于恒成立，得a>1,
t²-at+8>0,t∈(0,1]等价于，在（0，1]单调递减，于是g(t)_min=9,故a<9 于是存在a∈(1,9)使1<cos²θ+asinθ<9 对任意的θ∈（0，π）恒成立.
综上知，存在实数a∈(1,9),使得对任意的θ∈（0，π）恒成立.……………………（14分）.
点评：此题是个难题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．特别是问题（3）的设问形式，增加了题目的难度，综合性强．