Question

5．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍，求$\frac{sin∠B}{sin∠C}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=$\frac{AD×sin∠BAD}{BD}$，sin∠C=$\frac{AD×sin∠DAC}{DC}$，从而得解$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=$\frac{DC}{BD}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}BD×AE}{\frac{1}{2}DC×AE}$=2
∴BD=2DC，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠B}$，∴sin∠B=$\frac{AD×sin∠BAD}{BD}$
在△ADC中，$\frac{DC}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sin∠C}$，∴sin∠C=$\frac{AD×sin∠DAC}{DC}$；
∴$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=$\frac{DC}{BD}$=$\frac{1}{2}$．…6分

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．