Question

10．（1）已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，则x+y的最小值为16
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$ ）=10+$\frac{9x}{y}$+$\frac{y}{x}$，下面由基本不等式可得，注意等号成立的条件即可；
（2）利用题设中的等式，把y的表达式转化成（$\frac{a+b}{2}$）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1=1，
∴x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）
=10+$\frac{9x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥10+2 $\sqrt{\frac{9x}{y}•\frac{y}{x}}$=16，
当且仅当 $\frac{9x}{y}$=$\frac{y}{x}$即x=4且y=12时取等号，
∴x+y的最小值为16，
故答案为：16．
（2）∵a+b=2，∴$\frac{a+b}{2}$=1，
∴y=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$
=（$\frac{a+b}{2}$）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）
=$\frac{5}{2}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$
≥$\frac{5}{2}$+2
=$\frac{9}{2}$（当且仅当b=2a时等号成立），
则y=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值是$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．