Question

6．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB=$\frac{1}{2}$AD=1．
（1）求证：EF∥平面PAD
（2）若∠PDA=$\frac{π}{4}$，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PD中点M，连结AM，FM，证明MF∥AE，四边形AEFM为平行四边形，然后证明EF∥平面PAD
（2）连结AM，CM，说明∠ACM就是直线AC与平面PCD所成的角，通过解三角形可得sin∠ACM．

解答 （1）证明：取PD中点M，连结AM，FM，

∵MF∥CD，MF=$\frac{1}{2}$CD，AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}$CD，
∴MF∥AE，MF=AE，
∴四边形AEFM为平行四边形
所以AM∥EF，AM?平面PAD，
∴EF∥平面PAD
（2）解：连结AM，CM，由条件知AM⊥PD，CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AM，PD∩CD=D
所以AM⊥平面PCD，
∴∠ACM就是直线AC与平面PCD所成的角
经计算得AM=$\sqrt{2}，CM=\sqrt{3}，AC=\sqrt{5}$，
∴sin∠ACM=$\frac{AM}{AC}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面平行与垂直的判断与应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．