Question

15．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°．
（1）证明：平面SBC⊥平面ABC；
（2）求BC与平面SAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）欲证平面SBC⊥平面ABC，先证SO⊥平面ABC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO与平面ABC内两相交直线垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，满足定理条件；
（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出BC与平面SAC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，
∴AB=AC=SB=SC=SA，取BC中点O，连接OA，
∵∠BAC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而OA²+SO²=SA²．
∴△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O，∴SO⊥平面ABC．
∵SO?平面SBC，∴平面SBC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，
建立如图的空间直角坐标系O-xyz．
设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．
$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CS}$=（1，0，1），
设平面SAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CS}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设BC与平面SAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CB}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2}{2\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BC与平面SAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查直线与平面垂直，以及线面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，是中档题．