Question

已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|z₁-z₂|=1．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，且sinβ=-

3

5

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用复数的减法运算先计算出z₁-z₂，在利用向量的模的计算方法计算|z₁-z₂|，再让其等于1，就可得到cos（α-β）的值．
（2）根据角α，β的范围以及cos（α-β）和sinβ的值，求出sin（α-β）和cosβ的值，把α用α-β+β表示，所以sinα=sin[（α-β）+β]，把其中角α-β看做一个角，用两角和的正弦公式展开，把前面求出的三角函数值代入即可求出sinα．

解答：解：（1）∵复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|
∴z₁-z₂=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），
又∵|z₁-z₂|=1，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=1，
化简得

2-2cosαcosβ-2sinαsinβ

=1
2-2cos（α-β）=1
∴cos(α-β)=

2-1

2

=

1

2

．
（2）∵-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，所以0＜α-β＜π，
由（1）得cos(α-β)=

1

2

，∴sin（α-β）=

3

2

又∵sinβ=-

3

5

，-

π

2

＜β＜

π

2

，
∴cosβ=

4

5

.
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

3

2

×

4

5

+

1

2

×(-

3

5

)=

4 3 -3

10

点评：本题主要考查复数的减法运算和复数的模的求法，以及应用三角公式进行化简求值计算，注意其中角的整体代换．