Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是双曲线与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

+1

．

Answer 1

分析：求出抛物线与双曲线的焦点坐标得到p，c的关系；有两条曲线的对称性得到经过两曲线交点的直线垂直于x轴，利用双曲线方程求出交点坐标代入抛物线方程，得到双曲线的三参数a，b，c的关系，求出离心率．

解答：解：由于抛物线的焦点为（

p

2

，0）双曲线的焦点为（c，0）（其中c²=a²+b²），
所以p=2c．
由于双曲线和抛物线的图象都关于x轴对称，故直线PQ垂直于x轴．
所以交点坐标为（c，

b2

a

）在抛物线上，即(

b2

a

)2=2pc=4c²，∴

b2

a

=2c，
即c²-2ac-a²=0，解得e=

c

a

=1+

2

，
故答案为：1+

2

．

点评：本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键，属于
中档题．