Question

9．如图，F₁，F₂是双曲线的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B、A两点，若△ABF₂为等边三角形，则该双曲线的离心率为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由双曲线的定义，可得F₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F₁F₂=2c，再在△F₁BF₂中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．

解答 解：因为△ABF₂为等边三角形，不妨设AB=BF₂=AF₂=m，
A为双曲线上一点，F₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，
B为双曲线上一点，则BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F₁F₂=2c，
由$∠AB{F_2}={60^0}$，则$∠{F_1}B{F_2}={120^0}$，
在△F₁BF₂中应用余弦定理得：4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•cos120°，
得c²=7a²，则${e^2}=7⇒e=\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．