题目内容

椭圆G:的两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足

  (Ⅰ)求离心率e的取值范围;

 (Ⅱ)当离心率e取得最小值时,点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为求此时椭圆G的方程;(ⅱ)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由

(1);(2)(i)所求椭圆方程为,(ⅱ)当时,A、B两点关于点P、Q的直线对称。


解析:

(I)设M(x0,y0

                 ①

  ②

由②得代入①式整理得

解得

(Ⅱ)(i)当

设H(x,y)为椭圆上一点,则

若0

(舍去)

若b≥3,当y=-3时,|HN|2有最大值2b2+18

由2b2+18=50得b2=16

∴所求椭圆方程为

(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),则由

             ③

又直线PQ⊥直线l    ∴直线PQ方程为

将点Q(x0,y0)代入上式得,    ④

由③④得Q

(解1)而Q点必在椭圆内部   

由此得

故当时A、B两点关于点P、Q的直线对称

(解2)∴AB所在直线方程为

显然1+2k2≠0

   

直线l与椭圆有两不同的交点A、B  ∴△>0

解得

故当时,A、B两点关于点P、Q的直线对称。

(ii)另解;设直线l的方程为y=kx+b

设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),则

      ③

又直线PQ⊥直线l    ∴直线PQ方程为

将点Q(x0,y0)代入上式得,    ④

将③代入④

∵x1,x2是(*)的两根

⑤代入⑥得

∴当时,A、B两点关于点P、Q的直线对称。

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