题目内容
椭圆G:的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知F1、F2、B1、B2四点共圆 ,且点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为
(1)求此时椭圆G的方程;
(2)设斜率为k(k≠0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由。
解:(1)根据椭圆的几何性质,线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心,
故该椭圆中a=b=
c,即椭圆方程可为x2+2y2=2b2
设H(x,y)为椭圆上一点,则
若0
由(舍去)
若b≥3,当y=-3时,|HN|2有最大值2b2+18
由2b2+18=50得b2=16 ∴所求椭圆方程为
(ii)设E(x1,y1),F(x2,y2),Q(x0,y0),则由
③
又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为
将点Q(x0,y0)代入上式得, ④
由③④得Q
而Q点必在椭圆内部 由此得
故当时E、F两点关于点P、Q的直线对称.

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