题目内容

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）计算f（9）， $数学公式$ 的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）有集合A={（x₀，y₀）|f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0，x₀，y₀∈（0，+∞）}， $数学公式$ ．问：是否存在（x₀，y₀）使（x₀，y₀）∈A∩B．

解：（1）∵对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（ $\text{[math]}$ ）=-1，∴f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
（2）设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且 $\text{[math]}$ =t （t＞1）
则f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0，∴-f（t）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）依题意可得f（1）=0，f（ $\text{[math]}$ ）=1，f（ $\text{[math]}$ ）=2
f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0?f（x₀²+1）＞f（5y₀）+2=f（5y₀）+f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ y₀）?x₀²+1＜ $\text{[math]}$ y₀）①
$\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ?f（ $\text{[math]}$ ）=f（1）? $\text{[math]}$ =1②
将②代入①得27x₀²-5 $\text{[math]}$ x₀+27＜0
此不等式无解
故不存在（x₀，y₀）使（x₀，y₀）∈A∩B
分析：（1）利用x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=3，y=3，代入可得f（9），令x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，代入可得f（ $\text{[math]}$ ）；
（2）利用函数单调性的定义，设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，通过作差，证明f（x）＞f（y）即可证明f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）先利用已知计算f（1）=0，f（ $\text{[math]}$ ）=1，f（ $\text{[math]}$ ）=2，再利用f（xy）=f（x）+f（y）和函数单调性，将不等式f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0等价转化为x₀²+1＜ $\text{[math]}$ y₀），将方程 $\text{[math]}$ 转化为 $\text{[math]}$ =1，二者联立判断不等式是否有正解即可
点评：本题考察了抽象函数表达式的运用，函数单调性的定义运用，及二者的综合应用，解题时要运用转化化归的思想方法，善于将抽象问题具体化．