Question

2．设函数f（x）=e^x-ax-a，g（x）=me^-x-ax+a．
（1）若函数f（x）-g（x）为偶函数，求m的值；
（2）在（1）的条件下，若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，且存在g（x₀）≥0，求a的值；
（3）设h（x）=f（x）+$\frac{a}{{e}^{x}}$，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲线y=h（x）上任意两点，若对任意a≤-1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义，可得m=-1；
（2）f（x）≥0对一切x∈R恒成立，等价于f（x）_min≥0，利用导数可得a≥1，再由g（x）求得导数，求得单调区间，可得最大值，即有a≤1，可得a=1；
（3）设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁g（x₁）-mx₁，令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分离出参数m后转化为求函数最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）-g（x）=e^x-ax-a-（me^-x-ax+a）
=e^x-me^-x-2a，
由f（x）-g（x）为偶函数，即有e^-x-me^x-2a=e^x-me^-x-2a，
即为（1+m）e^x=（1+m）e^-x，则m=-1；
（2）∵f（x）=e^x-a（x+1），∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解为x=lna，
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1①
又g（x）=-e^-x-ax+a的导数为g′（x）=e^-x-a，
由e^-x-a=0解得x=-lna，
x＜-lna时，g（x）递增，x＞-lna时，g（x）递减，
x=-lna时，取得最大值，且为-a（-lna）=alna，
由存在g（x₀）≥0，则alna≥0，可得a≥1，②
由①②可得a=1；
（3）证明：设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁＜x₂，
则$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
不妨令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴对任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′（x）=e^x-a-$\frac{a}{{e}^{x}}$≥2$\sqrt{{e}^{x}•（-\frac{a}{{e}^{x}}）}$-a=-a+2$\sqrt{-a}$=（$\sqrt{-a}$+1）²-1≥3，
故m≤3．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，和函数恒成立问题、导数求函数的最值，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力，该题综合性强．