Question

（本题满分12分）设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：与轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得即，则F₁(-1，0)，F₂（1，0），故c=1．
所以．于是椭圆C₁的方程为．…………4分
（Ⅱ）设N（），由于知直线PQ的方程为：
． 即．……………………………5分
代入椭圆方程整理得：,
=,
 , ,
故
．………………………………7分
设点M到直线PQ的距离为d，则．…………………9分
所以，的面积S
 ………………11分
当时取到“=”，经检验此时，满足题意．
综上可知，的面积的最大值为．…………………………12分
考点：椭圆标准方程及直线和椭圆的位置关系求最值
点评：本题计算量较大，要求学生有较强的数据处理能力