Question

【题目】在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，M为BC的中点，BM=MC=2，AM=b﹣c，则△ABC面积最大值为 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：在△ABC中，∵角A、B、C的对边长分别为a、b、c，M是BC的中点， 若a=4，AM=b﹣c，设∠AMB=α，则∠AMC=π﹣α，
则c2=22+（b﹣c）2﹣4（b﹣c）cosα，b2=22+（b﹣c）2﹣4（b﹣c）cos（π﹣α），
∴b2+c2=8+2（b﹣c）2 ， 即b2+c2﹣4bc+8=0，
故cosA= = ，
故sinA= = ，
∴△ABC的面积S= bcsinA= ≤2 ，当且仅当bc=8时取等号．
即△ABC的面积的最大值为2 ．
所以答案是：2 ．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义，需要了解正弦定理:才能得出正确答案．